无限的观念~0.9是否等于1?_人工IT_久赢国际app官方网站_迪威国际怎么注册

无限的观念~0.9是否等于1?


无限的观念~0.9是否等于1?

一、前言

目前高中教材中,有两个部分涉及「无限」。首先是数学I,在一开始介绍数系的时候,学生要学会将循环小数化成分数。

在此之前,学生从来没有接触过「无限」的概念,也没学过无穷等比级数如何求和,因此教师通常都是这样教的:例如要将 \(0.\overline{12}\) 化成分数,令 \(0.\overline{12}=x\),因为

\(x=0.\overline{12}=0.121212…\)

\(100x=12.121212…\)

将两式相减得 \(99x=12\),因此 \(x=\frac{12}{99}\)

这样计算推理逻辑有个前提必须是假设 \(0.\overline{12}=0.121212…\) 这个无限小数是收敛的,其收敛值存在才能假设它为 \(x\),并且以 \(x\)去进行运算。

教材中涉及无限的第二部分为高三选修下册的极限单元。在这里从新、从头开始讲解无限的概念,以直观的方式理解数列的收敛与发散,以及无穷数列的极限值,并以无穷等比级数的方式学习将循环小数化为分数,然后将观念扩充到函数的极限。数学乙就到此结束,数学甲继续往下进行微积分的教学。

现在教科书的微积分内容,先以「极限」的观念与形式现导数的意义,然而在高一与高二的课程中,学生对「无限」(包括无穷大与无穷小量)与「逼近」实际上是没什幺机会接触的,对概念的了解也还停留在直观上,所以对「极限」常常会有些错误迷思,例如「\(0.\overline{9}=1\)」,以及 \(\frac{0}{0}\) 型式的极限,都是在学习微积分的第一道关卡–「极限」的过程中常会出现的问题所在。

本文试着从数学史的角度切入来说明无限的观念,以及对「\(0.\overline{9}=1\)」这个式子的理解与迷思。

潜在无限与实在无限

由于季诺(Zeno of Elea, 490BC~430 BC)悖论的影响,自古希腊以来,西方数学家在面临「无限」的问题时,总是小心翼翼、谨慎有加的斟酌处理。在当时,亚里斯多德(Aristotle, 384 BC – 322 BC)就以非常大智慧地将「无限」分成「潜在无限potential infinity」与「实在无限actual infinity」。

所谓「潜在无限」,指的是「可以一直作下去」的一个过程,例如一段线段可以一直分割下去;或是自然数可以一直加1得到下一个,这样一直作下去,不会有所谓的「尽头」,这即是潜在无限。而「实在无限」则是一个整体的存在,例如自然数的全体即是实在无限。「实在无限」的概念要一直要到康托(Georg Cantor, 1845~1918)以后才较为清楚的被了解,而「潜在无限」则一直被数学家们运用在有关无限的许多题材中,例如,阿基米德(Archimedes of Syracuse, 287? BC ~ 212 BC)在证明圆面积公式与抛物线弓形面积中,也都利用了「潜在无限」的观念,将曲线图形与越来越逼近此曲线的直线形间的关係来加以讨论证明。从希腊以来的数学处理方式,其实也暗示着学生在学习有关无限的概念时,实际上「潜在无限」的这样子的接近无穷的「程序」性质,确实比「实在无限」更容易掌握。

举例来说,学生在学习循环小数时,常在选择题中碰到型如「\(0.\overline{9}=1\)」的判断真假问题。这个问题就如同季诺悖论一样让人觉得是是而非,无法让人确实的信服。有许多人直观的反应一定是「\(0.\overline{9}<1\)」,他们会形成这样的印象大概可以归纳成几个原因:

最简单的质疑意见来自于数字比大小的根深蒂固观念,因为不管 0.99999… 后面的「…」有多少个,都是零点多,一定比1还要小。在无穷等比级数的单元中,我们学习利用无穷等比级数的求和,将循环小数化为分数,
而 \(0.9999…=\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+…\)此无穷等比级数的和为 \(\frac{9/10}{1-1/10}=1\)。
虽说它的「和」是1,但是大家都知道这个公式实际上是一个取极限的过程,
它来自于 \(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{9}{10}(1-(\frac{1}{10})^n)}{1-\frac{1}{10}}\),所以 \(1\) 是 \(0.999…\) 的极限值,\(0.999…\) 并不等于 \(1\)。有些人在将循环小数化成分数时,用的是乘以 \(10\) 的次方将其进位的方法,如令 \(x=0.999…\),两边同乘以 \(10\),得到 \(10x=9.999…=9+0.999…=9+x\),两边同时消去 \(x\),所以 \(9x=9\),即 \(x=1\)。在这样的过程中,让人质疑的是 \(x\) 可否消去的问题,因为若 \(x\) 消去后,得到的 \(9x\),但是 \(x=0.999…\),乘以 \(9\) 以后,得到的应该是 \(8.999…\),且最后一位数字(如果有的话)应该是 \(1\),当然不会等于 \(9\)。

\(0.\overline{9}\) 是否等于 \(1\) 的这个问题,追根究底就是「实在无限」与「潜在无限」的两派看法。

从「实在无限」的角度来看,即是将 \(0.\overline{9}\) 看成一整个实体,如同 \(\sqrt{2}\) 一般,我们同意 \(\sqrt{2}\) 是一个数,而这个数是一个无穷小数,等于 \(1.41421…\),不管此小数后面的「…」有多少个数字,又是什幺样的数字,\(\sqrt{2}=1.41421…\)。而数字 \(1\) 就和 \(\sqrt{2}\) 一样,\(1\) 这个数的另一个无穷小数的表示法就是 \(0.\overline{9}\),所以 \(0.\overline{9}=1\)。

然而有些人从「潜在无限」的角度来看 \(0.\overline{9}=0.999…\),他们会将后面的「…」看成一个「过程」,所以可以一直写下 \(9\),虽然要多少个就可以写下多少个,但还是 \(9\) 这个数字,当然 \(0.999…\) 不等于 \(1\)。

潜在无限的概念,相较于实在无限来说,确实是较为直观而容易了解,同时,又符合我们在有限世界所习惯的数学原则,所以,微积分在发明之初,当数学家们面对无穷小量与无穷小量的变化率时,有许多观念的解释即是来自于「潜在无限」的观念。不过要进一步将微分与积分的观念精鍊,以及以更严谨的形式学习或发展更进一步的数学,接受「实在无限」的概念是必须要越过的一道鸿沟。

参考文献

  • 2020-07-13 23:02
  • 人工IT
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